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Mathématique m1407

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​​​​Tout comme son nom l'indique, la réflexion est en fait le résultat du figure initiale pour laquelle on trac​e son reflet dans un miroir.

La réflexion, ou symétrie, est une transformation géométrique ​qui permet d'obtenir la figure image «miroir» de la figure initiale par rapport à une droite appelée axe de réflexion.

Propriétés de l'axe de réflexion

Tout comme la transformation elle-même, l'axe de réflexion, généralement noté s , possède uelques propriétés:
  • elle coupe au milieu tout segment qui relie des sommets homologues

  • les points homologues des figures initiale et image ​sont situés à égale distance de part et d'autre de l'axe de réflexion

  • les points homologues des figures initiale et image forment les extrémités d'un segment perpendiculaire à l'axe de réflexion

La figure image A B C D E est obtenue par réflexion de la figure initiale A B C D E autour de l'axe de symétrie​.
​​​

Comme on peut le constater, la réflexion est une transformation géométrique qui génère des figur​es isométriques. Donc, on qualifie la réflexion d'isométrie (tout comme la rotation et la translation).

De plus, tous les points de l'image, identifiés avec le symbole «'», issue d'une réflexion peuvent être associés aux points correspondants de la figure initiale. Plus précisément, on qualifie d'homologues les points qui occupent la même position dans les figures initiale et image d'une réflexion

De par ses propriétés, il est important de ne pas mélanger «axe de réflexion» et «axe de symétrie».

Pour ce qui est de l'axe de symétrie, il s'agit d'une droite qui divise une figure en deux parties congrues.

Voici un dessin qui illustre bien la différence entre les deux types d'axes:
Dans le cas de l'axe de symétrie , le triangle ABC est séparé en 2 parties égales. Dans le cas de l'axe de réflexion , une reproduction exacte du triangle ABC est produite. Les propriétés de la réflexion

Afin de vérifier qu'une image a été obtenue par réflexion, ou encore pour démontrer la construction d'une image par réflexion, on peut utiliser ses propriétés.

Propriétés de la réflexion Exe​mple
Les côtés homologues d'une figure initiale et de son image ne sont donc pas nécessairement parallèles. A B ¯ A B ¯ , B C ¯ B C ¯ , C D ¯ C D ¯ e t A D ¯ A D ¯

Les sommets A , B , C et D sont placés dans l'ordre inverse des sommets A , B , C et D .

L'ordre des sommets homologues est inversé.
Les segments de droite tracés pour relier les sommets homologues sont parallèles, mais ils ne sont pas nécessairement isométriques. A A ¯ B B ¯ C C ¯ D D ¯

m A A ¯ m B B ¯ m C C ¯ m D D ¯

La construction d'une image par réflexion

On peut tracer l'image d'une figure par réflexion en suivant les étapes suivantes:

1. À l'aide d'une règle et d'une équerre, tracer des droites perpendiculaires à l'axe de réflexion | s| en passant par chacun des sommets de la figure.

2. Utiliser un règle ou ouvrir le compas selon une ouverture équivalant à la longueur qui sépare un sommet de l'axe de réflexion | s|.

3. Utiliser une règle ou placer la pointe sèche du compas sur le point de rencontre de l'axe de réflexion et de la droite perpendiculaire issue du sommet et reporter la mesure du compas sur la droite perpendiculaire de l'autre côté de l'axe de réflexion en y traçant un petit un arc de cercle.

4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacun des sommets de la figure.

5. À l'aide d'une règle, relier les points obtenus de façon à tracer la figure image à la figure initiale tout en nommant les points images obtenus à l'aide du symbole « ' ».

Supposons que l'on veut tracer la figure image du polygone ci-dessous par réflexion, on peut suivre les étapes suivantes:

1. À l'aide d'une règle et d'une équerre, tracer des droites perpendiculaires à l'axe de réflexion |s| en passant par chacun des sommets de la figure.
2. Utiliser une règle ou ouvrir le compas selon une ouverture équivalant à la longueur qui sépare un sommet de l'axe de réflexion |s|.
3. Utiliser une règle ou placer la pointe sèche du compas sur le point de rencontre de l'axe de réflexion et de la droite perpendiculaire issue du sommet et reporter la mesure du compas sur la droite perpendiculaire de l'autre côté de l'axe de réflexion en y traçant un petit arc de cercle.
4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacun des sommets de la figure.
5. À l'aide d'une règle, relier les points obtenus de façon à tracer la figure image à la figure initiale tout en nommant les points images obtenus à l'aide du symbole « ' ».

(Cliquer sur les images pour les agrandir)

Parfois, l'axe de réflexion peut se situer à l'intérieu​r même de la figure initiale. Malg​ré tout, les étapes à suivre sont les mêmes.

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Étape 4

Étape 5

(Cliquer sur les images pour les agrandir)

​Retrouver l'axe de symétrie à partir des figures initiale et image​

Si un dessin présente la figure initiale et la figure image issue d'une réflexion, il est possible de retrouver l'axe de réflexion qui a été utilisée lors de la construction.

1) Ide​​ntifier la figure image et la figure initiale
La figure image est celle dont l'identification des sommets est accompagnée du symbole « ' ». Ici, la figure image est le triangle vert alors que le triangle mauve est la figure initiale.

2) Relier par des segments chaque paire de sommets homologues.

3) Tracer le point milieu de chaque segment tracé à l'étape 2.

4) Tracer la droite qui passe par les points milieux identifiés à l'étape 3.

Les vidéos
 
Les exercices
Les références